發布時間：2023-10-07 15:57:12
序言：寫作是分享個人見解和探索未知領域的橋梁，我們為您精選了8篇的歐姆定律極值問題樣本，期待這些樣本能夠為您提供豐富的參考和啟發，請盡情閱讀。
一、分析法和綜合法簡介
分析法的特點是從問題出發，逐層進行分析求解，直到求出待求量.
綜合法，就是將已知的各個量聯系在一起，明確各部分的關系后，最后綜合在一起進行整體解答.不管是“分析法”還是“綜合法”，它們是密不可分的.分析是綜合的基礎，綜合是分析的結果，兩者是互補的.
（2）受力分析步驟.首先，判斷物體的受力情況并作圖.其次，判斷力的方向：①根據力的性質和產生的原因去判斷.②根據物體的運動狀態判斷：a由牛頓第三定律判斷；b由牛頓第二定律判斷（有加速度的方向物體必受力）.
三、運動學解題的基本方法、步驟
在解答運動學問題時，位移、速度、加速度等基本概念和基本規律是解題的依據.只有對這些概念和規律有深刻的認識后，才有利于我們解答相關問題.基本步驟如下：（1）審題.弄清題意，畫草圖，明確已知量，未知量，待求量.（2）明確研究對象.選擇參考系、坐標系.（3）分析有關的時間、位移、初末速度，加速度等.（4）應用運動規律、幾何關系等建立解題方程.（5）解方程.
四、動力學解題的基本方法
由于動力學規律較復雜，在解答此類問題時，要首先將這些問題進行歸類處理，再進行具體的解答.
1.應用牛頓定律求解的問題.（1）已知物體受力求物體運動情況.（2）已知物體運動情況求物體受力.這兩種基本問題的綜合題很多.從研究對象看，有單個物體也有多個物體.
解答習題的基本方法：①確定研究對象.②分析物體受力情況，畫受力圖.③對物體的運動情況進行分析，確定加速度a.④根據牛頓定律、力的概念、規律、運動學公式等建立解題方程.⑤解方程.⑥驗算，討論.
2.應用動能定理求解的問題.解題的基本方法：①選定研究的物體和物體的一段位移以明確m、s.②對物體受到的力進行受力分析.③對物體的初始速度和末速度進行分析，確定初末動能.
3.應用機械能守恒定律求解的問題.解題的基本方法：①選定研究的系統和一段位移；②對系統進行受力分析，包括外力、內力，及他們做功情況，以判定系統機械能是否守恒；③對物體初始位置和最終的位置進行分析，然后根據機械能守恒定律等列方程，解方程，驗算討論.
五、電路解題的基本方法
一、人為夸大物理學習的難度，使學生產生了學習物理極強的心理障礙
學生接觸物理學科的知識、應用物理學科的知識最早應該在日常生活過程中。從書面獲得物理學科的知識應該在小學，原來的《自然》、現在的《科學》，只不過那時沒有指明，這之前應該對物理并不畏懼。當進入初二，正式接觸物理這門學科后，我們的教師為了讓學生重視物理學科的學習，往往強調說：物理這門學科很難，你稍不注意就會學不好，它比其它任何一門學科都難。高年級的學生也會以過來人的身份對學弟學妹們說：物理難哦，女生學物理很惱火哦。那么，物理就此貼上了“難”的標簽。由于各方面因素的影響夸大了學習物理的難度。學生上課就特別專注，導致緊張過度，當然就不容易學好。剛開始一學不好，就更緊張甚至恐懼，形成惡性循環。有同學曾對老師說：我還是很想把物理學好，不知怎的想上物理課，又害怕物理課，越是專心越是聽不懂。而別的同學怎么就那么容易聽懂呢？
那么作為物理教師該如何作呢？我認為：首先物理教師不能說物理難。告訴同學：只要認真和努力物理很容易。古語曾說：難者不會，會者不難。其次，列舉一些同學學習物理很成功的例子，也可列舉一些同學物理學科補弱成功的例子。這樣對初中物理沒有學好的高一新生是一次鼓勵。否則，會破罐子破摔，放棄物理學科。另外，適時通過小實驗和剖析日常生活中的物理現象激發學生學習物理的興趣，甚至讓學生動手操作體驗成功。
二、學科間知識不能融會貫通造成分析、處理物理問題的難度增加
從我求學到從教至今，應該說學習物理的重要工具就是數學。有人曾說過，數學家不一定是物理學家，但物理學家一定是數學家。應該說物理學家在數學的某一領域一定有很高的造詣。中學階段物理學習中涉及的數學知識應該是非常基礎的。比如勻速直線運動中速度——時間（圖像）、位移——時間（圖像）、恒力產生的沖量——時間（圖像）等就是正比例函數的知識。勻變速直線運動中速度——時間（圖像）、電學中路端電壓——電流(圖像)等就是一次函數的知識。勻變速直線運動中位移——時間（圖像）、平拋運動豎直位移——水平位移（圖像）等就是二次函數的知識。學生在遇到這類問題時很難與相關的數學中的函數解析式以及斜率、截距聯系起來。甚至有些疑惑：怎么物理中也有這樣的關系？或者不能大膽的、游刃有余的運用。
我在教學中遇到這類問題時，首先復習數學知識，并在教學中和學生共同討論哪一個量分別與數學中的量對應，這樣學生接受起來就很容易。并在教學中引導學生各學科之間不是截然分割而是有聯系有些甚至是相通的。那么以后再遇到同類的問題學生理解的難度就小多了，甚至處理物理問題很順暢。當然物理學習過程中還有很多地方要用到數學知識，比如方程組的求解、極值問題、臨界問題等。
又比如化學中學的質子、中子、電子、粒子、正粒子、負粒子的質量數和所帶的電荷數不能大膽的運用于物理也使學生感到物理難。當然還有生物等其它學科。
三、生活中的實際物理現象的干擾影響了對物理模型的理解
物理在研究某一問題時，為使其簡化，提出了很多理想模型。比如光滑、質點、點電荷、真空、不及空氣阻力、理想氣體、理想變壓器、理想電流表、理想電壓表、勻速、勻變速等。然而在實際中都不能達到，因此由理想情況下得出的結論和實際現象總會有差異，有時差異很大。而學生在學習物理的過程中處理物理習題時往往不自覺的與生活中觀察到的現象或者生活經驗聯系起來，很容易得出錯誤的結論。
因此在物理教學中要把每一個概念講懂、講透，讓學生真正透徹理解概念顯得尤為重要。把理想模型與實際物理模型處理好，在教學中承認差異，但只要差異小，在誤差允許的范圍內，我們研究理想情況也就有價值了。如果能以實驗逐漸趨于理想化就更好了。比如在力和運動的關系，實際生活中勻速直線運動是沒有的，但我們可以通過給物體一個初速度，逐漸減小接觸面的粗糙程度，物體運動的距離會越來越遠，速度改變越來越慢，當沒有摩擦，便作勻速直線運動，理論上是可以的。實際情景是不可能的，只能無限接近勻速直線運動。又比如在進行自由落體運動教學時，讓學生討論：你能讓物體真正地作自由落體運動嗎？如果你想，應該怎樣做？
四、不能恰當地類比，造成對物理知識的理解難度增加
在氣體一節教學時，我們知道：溫度升高，分子熱運動加劇是從宏觀總體效果來說的，有的分子運動反而變慢了。如果我們把這一現象與某一次考試某班物理平均成績上升了，但肯定有少數同學物理成績反而下降作類比對學生理解氣體分子的運動情況是很有幫助的。又比如在電流一節教學需讓學生理解：電荷定向移動形成電流。我們可以把這一現象與體育課上學生在體育教師的口令下學生沿跑道進行的跑步練習做類比。又比如學生對看不見、摸不著的電場、磁場理解很困難，很容易犯的錯誤：電荷受電場力、磁場力變小了，電場強度、磁場強度也就變小了。對電場強度、磁場強度是由電場、磁場本身決定這一點很容易忽略，容易錯誤的認為沒有表現出來就認為不存在。這一點可以和我們的體重作類比：當我們站在體重計上有體重的顯示，那我們從體重計上下來后就沒有體重了嗎，回答是否定的，而且我們的體重不僅存在而且是由我們人本身決定的。
五、對概念、公式、定理、定律的適用范圍、條件的理解不準確造成解題錯誤
應用數學工具解決物理問題是物理課程標準（以下簡稱“課標”）規定學生必須掌握的一項基本技能[1]，在不少省市的高考說明中對函數思維能力都有明確的表述。
以函數思維來審視物理中變量之間的關系，往往能夠化難為易、化繁為簡，起到事半功倍的作用，不但能提高學生的知識遷移能力，而且可以開闊學生的視野，加強學生對物理學習的深度，激發學生的興趣.
二、主要概念的界定
（一）函數思維
函數描述了自然界中量的制約關系，反映了一個事件（或參量）隨著其他若干個事件（或參量）變化而變化的關系和規律.函數的思維方法就是用聯系的變化的觀點抽象出對象的數學特征，建立函數關系式（畫出函數圖象），并利用函數的性質研究、解決問題的一種數學思維方法[2].
（二）過程性培養
初高中學生在思維方式上有兩大區別：（1）形象思維與抽象思維的區別，（2）感性思維與理性思維的區別.應用函數思維解決物理問題則是有效提升高中生應用抽象思維、理性思維解決問題能力的重要抓手.
學生形成用函數思維解決物理問題的習慣是一項系統、漫長且螺旋式上升的過程，絕非一朝一夕可以實現的.為了更有效培養高中生應用函數思維解決物理問題的能力，我們必須對這項工作進行高中三年教學的全程設計，從而實現對學生的函數思想進行過程性培養，而非階段性的權宜之計.
三、理論支撐
建構主義認為：（1）學習就是在一定情境即社會文化背景下，借助其他人的幫助即通過人際間的協作交流活動而實現有意義的建構過程;（2）學習者已有的認知圖式與即將學習的知識之間相互作用主要包括“同化”和“順應”兩種.學習者把一個新認知納入已有的認知圖式的過程稱之為同化.當遇到不能同化的知識時，學習者調整已有的認知圖式，以習得新的知識，稱之為順應[3].
在進入高中前，學生已經有了一些數學基礎，且也有用函數思維解決問題的經歷（如初中物理中所涉及的壓強、歐姆定律、浮力等問題）.此時教師應引導學生將這些零散的、隱性思維方法建立具有普遍意義的認知圖式，為學生學習新知識中的順應和同化做好準備.
四、函數思維法教學模式的探索
函數思維法作為解決問題的一種重要方法，不少中學教師均認識到了這一點，也做了不少研究和探索，但大部分的研究還只是一些例證性的，理論性的文章或成果并不多見.其中文獻4提出了函數法思維教學模式，其教學模式的網絡陣圖如下（如圖1所示）[4].
由圖1可見：（1）認識規律和掌握規律有順應和同化兩種方式，兩種方式間存在動態循環關系;（2）不同科學量間存在因與果、基礎與遞進等關系;（3）掌握函數思維方法通常要經歷“建立方法、嘗試運用方法、自覺運用方法”三個階段;（4）“認知程序思維”是思維能力由低級到高級，由表象到深層次、由喚醒到自覺的發展過程.
五、函數思維能力過程性培養的策略
（一）“顯現化”的策略
教學中常常會看到這樣的現象，有些教師怕被扣上“填鴨式教學”的帽子，凡教學必“啟發式”，回避“顯現化”的方式.凡事都有度，教學方式亦如此.過度“繞彎式的啟發”給學生制造了學習的障礙，適當的點破“窗戶紙”也是可以的.函數思維本身屬于抽象思維，在物理課程中表現得比較隱性，進行“顯現化”處理非常必要，否則會顯得很晦澀.如何“顯現化”呢？筆者設計了如下基本程式（如圖2所示）.
【例1】地球和月球的半徑之比為=4，表面重力加速度之比為=6，則地球和月球的密度ρ之比為 .
【析與解】尋求ρ=f（g，R）的函數關系式為思維目標，ρ=、V=是思維起點，而M=則是思維橋梁.可求得目標關系式ρ=，其中ρ為應變量，g、R為自變量，剔除相同物理量（定量），進一步可得ρ∝，則答案為1.5.
根據筆者的經驗，若在函數思維培養過程中常用一些函數術語進行教學，對教學過程進行“顯性化”處理，則學生遇到類似問題應用函數思維的“敏感度”會提高.常用的術語有：“自變量”“應變量”“表達式”“定義域”“值域”“分段函數”及“函數的單調性”等.
（二）數形結合的策略
函數的表示方法有：解析法、列表法、圖象法等.圖象法和解析法是高中物理最常用的表示方法，兩種方法各有優缺點.圖象法的優點則是形象直觀，方便判斷物理量的變化趨勢，有利于快速從整體上把握問題，必要時可與現代教育技術相結合（如例2）;而解析法的優點是精確，方便以方程（組）的形式解出物理量的具體值（如例3）.在具體應用函數法解決問題時，可以根據問題需要選擇合適的表示方法.
【例2】如圖3所示，兩個電荷量絕對值都是q的點電荷，二者間的距離為2a，討論兩電荷中垂線上電場強度的變化情況.
【析與解】中垂線上的A點與垂足O相距x，由對稱性、點電荷的場強公式和場的疊加原理可求得：E=.
此處E極值的求解過程對數學的要求已經超出教學要求.如何既能避開煩瑣的數學過程，又可以對這一問題有整體性的把握，筆者嘗試利用Excel的圖表功能描出了如圖4所示的E與的關系圖象，從圖上可以觀察到在∈[0，+∞），函數的單調性發生一次改變，即有極大值.利用Excel的圖表功能，既簡化了問題討論的過程，也從客觀上提高了學生應用現代技術解決問題的能力，適應新的教育要求.
【例3】利用圖5所示電路可以測出電壓表的內阻.已知電源的內阻可以忽略不計，R為電阻箱.閉合開關，當R取不同阻值時，電壓表對應有不同讀數U.多次改變電阻箱的阻值，所得到的-R圖象在圖6中正確的應該是（ ）
【析與解】設電源電動勢為E，電壓表內阻為RV，電壓表的讀數為U，本問題的自變量可認為是電阻箱的電阻R，而則為應變量.由閉合電路的歐姆定律，可得I=，則U=E-IR=E-，化簡得=+，即兩者是一次函數關系，則A正確.
（三）準確把握參量獨立性的策略
物理量間的關系往往比純數學問題中變量間的關系更隱性、更復雜，其中一個重要的原因是有時不能一下子把一個問題中的定量與變量區分開來，也就是各物理量是獨立量還是關聯量.最典型的就是比值定義法定義的物理量與相關物理量間的關系，不能說比值與分子成正比、與分母成反比，如密度ρ=，電阻R=，加速度a=，場強E=，電勢φ=，電勢差UAB=，電容C=……學生能比較容易地理清上述物理量間的關系，其中一個重要原因是，在新課教學時老師往往都進行了強化.但有時就不是那么簡單了，如例4.
【例4】人造衛星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為r，線速度為v，周期為T，要使衛星的周期變為2T，可以采取的辦法是（ ）
A.r不變，使線速度變為
B.v不變，使軌道半徑變為2r
C.使衛星的高度增加r
D.使軌道半徑變為r
【析與解】如果應用T=的關系式則會選擇AB，顯然不正確，因為表達式中分子（r）和分母（v）是關聯物理量.對于同一中心天體而言，所有環繞天體的運動學參量（T，v，ω，an）與其他因素無關，是軌道半徑r的函數.把r視作自變量（中心天體質量M一定），其他參量視為應變量，則有：T=2π，v=，an=.則T∝r，選D.
該類問題的關鍵是關系式中分子上的物理量與分母上的物理量是獨立量（一個物理量的變化不會引起其他量的連鎖反應），還是關聯量（與獨立量相對）.在說一個物理量（應變量）與其他物理量（自變量）間是什么關系時，要保證一個自變量變化時，其他自變量能保持不變，即符合控制變量法的要求.由于知識水平和看問題的角度所限，學生容易犯上述錯誤，教師在教學中應常指導學生檢驗表達式中各自變量的獨立性如何.
（四）循序漸進的策略
俗話說“習慣成自然”，而思維習慣的養成更不能一蹴而就，是一個長期復雜的過程，即需要進行過程性培養.教學對象和教學目標，決定了教學內容、教學過程和教學形式.首先，從生理和心理的角度講，剛進入高中的學生抽象思維遠不如形象思維發達，抽象思維才剛剛形成;其次，從知識和能力角度講，他們在初中所學的函數知識大部分還只是討論一些純數學的問題，數理結合的形式并不多見;再次，從認知規律角度講，人類對規律的認知必然要經歷從模糊到清晰、從簡單到復雜的過程，由感性上升到理性的過程.
培養學生的函數思維應盡早啟動，把握住教學過程中的契機，并貫穿于三年教學的全過程.筆者曾以《2014江蘇省普通高中學習水平測試（選修科目）說明》為基礎，研究了高考考點，其中至少有20個知識點適合培養學生的函數思維能力，限于篇幅不在此羅列.
解決物理問題的思想方法有很多，函數思維只能在部分物理問題的解決中顯示出其優越性，正是這種教學時間上的間隙性，所以應根據教學內容適時把握機會.
（五）專題強化的策略
經過基礎年級的學習、體驗，學生應該已經初步具備了應用函數思維方法解決相關物理問題的能力.但由于前期能力培養的時間比較零散，為了使學生應用函數思維解決問題的能力再深化、內化，對這種方法的應用變得更加自覺，教師在高三年級有必要通過專題的形式鞏固前期的效果.
縱觀高三復習，我們會發現適合集中提升學生應用函數思維解決問題能力的專題主要有兩大類：（1）用解析法求解與極值有關的問題，如追及問題、電源的輸出功率問題以及與利用三角函數求解的有關問題等;（2）圖象法中有關坐標值、斜率、交點和面積等參量的含義，如運動學圖象、動力學圖象、電學實驗圖象、電磁感應圖象問題等. 專題強化的最大優勢在于趁熱打鐵、及時鞏固，特別是在二輪復習中關于思維方法和思維能力訓練階段，這種做法效果尤佳.
在解決物理問題的過程中，簡單機械地套用物理規律，有時只能暫時地解決問題.教師若能引導學生以函數思維來看待一些問題，不但能讓學生掌握靈活解決問題的方法，而且能開闊學生的解題視野，有利于學生對物理規律本質的理解，對培養學生能力的積極意義是不言而喻的.
參考文獻：
[1] 中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003：9.
[2] 郭春艷，常法智.函數思維在中學數學解題中應用初探[J].高等函授學報（自然科學版），2007（4）：14.
一、求解力學問題
圖1例1 如圖1所示，某人站在到公路垂直距離為d=50 m的A點，發現公路上B點有一輛客車以v=8.48 m/s的速度沿公路勻速前進，人與車相距s=100 m，人奔跑的速度v′=6 m/s.則人要趕上客車應朝哪個方向奔跑才行？
解析 由圖1示可知sinα=50100=12，所以α=30°.
設人奔跑的方向與AB連線夾角為θ，車和人到達D點所用的時間分別為t和t′，則有vtsinθ=v′t′sinα，即
tt′=v′sinθvsinα
①
人要能夠趕上汽車，應有t≥t′，即
tt′≥1
②
把②帶入①有：v′sinθvsinα≥1，即sinθ≥0.707，所以45°≤θ≤135°.
例2 在光滑的水平面上有兩個半徑都是r的小球A和B，質量分別為m和2m，當兩球心之間的距離大于2L（比2r大得多）時，兩球之間無相互作用力；當兩球之間的距離等于或小于L時，兩球間存在相互作用的恒定斥力F.設A球從遠離B球處以速度v0沿兩球連線向原來靜止的B球運動，如圖2所示.欲使兩球不發生接觸，v0必須滿足什么條件？
圖2解析 A球向B球接近至A、B間的距離小于L之后，A球的速度逐漸減小，B球從靜止開始加速運動，兩球間的距離繼續逐漸減小，當A、B的速度相等時，兩球的間距最小.若此距離大于2r，則兩球不會接觸，因而它們不接觸的條件是：
v1=v2
L+s2-s1>2r
其中v1、v2為當兩球間距離最小時，A、B兩球的速度，s1、s2為兩球間距離從L變到最小的過程中A、B兩球通過的路程.
設v0為A球的初速度，則由動量守恒定律有：
mv0=mv1+2mv2
由功能關系有：
Fs1=-12mv20-12mv21，Fs2=12（2m）v22
聯立以上各式科解得v0
例3 從地面上以初速度2v0豎直向上拋出一小球A，經過Δt時間從同一點以初速度v0豎直向上拋出另一小球B.（1） 要使A、B兩球能在空中相遇，Δt應滿足什么條件？（2） 要使B球在上升時與A球相遇，Δt應滿足什么條件？（3） 要使B球在下降時與A球相遇，Δt應滿足什么條件？
解析 本題實際上是一個極值問題，但用極值求解相對困難和麻煩.若利用不等式求解則簡捷、方便得多.
根據題意設在B球拋出后t時刻與A球相遇，則它們相遇的條件為：
2v0（t+Δt）-12g（t+Δt）2=v0t-12gt2，化簡得
t=2v0Δt-12gΔt2gΔt-v0
①
（1） 要求0
②
把①代入②，有0
（2） 要滿足如下條件0
③
將①代入③可解得：（1+3）v0g
（3） 要滿足如下條件 v0g
④
把①代入④可解得：2v0g
圖3例4 如圖3所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點O兩側的人的序號都有標記n（n=1， 2， 3， …）.每人只有一個沙袋，x>0一側每個沙袋的質量為m=14 kg；x
（1） 空車出發后，車上堆積了多少個沙袋時車就反向滑行？
（2） 車上最終有大小沙袋多少個？
解析 該題涉及到的物理規律僅限于動量守恒定律及相關知識，能力考查則相當突出，對理解、推理、分析、綜合等能力有較高要求.最終落實到數學工具的應用上，須通過解不等式才能得出結論.
（1） 在小車朝正方向滑行的過程中，第（n-1）個沙袋扔到車上后的車速為vn-1，第n個沙袋扔到車上后的車速為vn，則根據動量守恒定律有[M+（n-1）m]vn-1-2nmvn-1=（M+nm）vn，則vn=M-（n+1）mM+nmvn-1
小車反向運動的條件是vn-1>0，vn0，M-（n+1）m
代入已知數值可解得nMm-1=3414.
因為n為正整數，故n=3，即車上堆積了3個沙袋后就反向滑行.
（2） 車自反向滑行直到接近x
現取圖中向左的方向（-x方向）為vn-1′、vn′的正方向，則由動量守恒定律有[M+3m-（n-1）m′]vn-1′-2nm′vn-1′=（M+3m+nm′）vn′，解得vn′=M+3m-（n+1）m′M+3m+nm′vn-1′.
車不在向左滑行的條件是vn-1>0，vn′0，M+3m-（n+1）m′≤0，將已知數值代入上面兩個不等式可求得8≤n
當n=8時，車停止滑行，即在x
圖4例5 如圖4所示，斜面固定在水平面上，其傾角為θ，斜面上放一個質量為m的物體，物體與斜面間的摩擦系數為μ.現用一水平恒力F推物體，結果無論F多大都推不動，求μ應滿足的條件.
解析 由題意知不等式Fcosθ
二、求解熱學問題
例6 如圖5所示，大小不等的兩個容器被一根細的玻璃管連通，玻璃管中有一段水銀柱將兩容器內氣體隔開（溫度相同）.當玻璃管豎直放置時，大容器在上，小容器在下，水銀柱剛好在玻璃管的正中間.現將兩容器同時降低同樣的溫度，若不考慮容積的變化，則細管中水銀柱的移動情況是（ ）.
A. 不動 B. 上升
C. 下降 D. 先上升后下降
解析 以液面C為研究對象，根據平衡條件有pA+ρgh=pB
假定溫度降低時水銀柱不移動，A、B減少的壓強分別為ΔpA、ΔpB，則液柱C受到向下的壓強p下=pA-ΔpA+ρgh，向上的p上=pB-ΔpB.
若ΔpA=ΔpB，則p上=p下，水銀柱不移動；若ΔpAp下，水銀柱向下移動；若ΔpA>ΔpB，則p上
因此只要假定水銀柱不動，分析氣體壓強的變化情況，運用不等式就可判斷水銀柱怎樣移動.
圖5 圖6方法1 假定水銀柱不移動，根據查理定律有pT=p-ΔpT-ΔT，化簡得Δp=ΔTTp，則ΔpA=ΔTTpA，ΔpB=ΔTTpB.由于pA
方法2 假定水銀柱不移動，作A、B等容變化圖象，如圖6所示.降低相同溫度時，由圖可知ΔpB>ΔpA，水銀柱下降.應選C.
例7 如圖7所示，有一直立的汽缸，汽缸底到缸口的距離為L0，用一厚度和質量均不計的剛性活塞A把一定質量的空氣封在缸內，活塞與缸間摩擦可忽略，平衡時活塞在缸口，周圍大氣的壓強為H0 cmHg.現把一個盛有水銀的瓶子放在活塞上（瓶子的質量可以忽略不計），平衡時活塞到汽缸底的距離為L，若不是把這瓶水銀放在活塞上，而是把瓶內水銀緩慢地倒在活塞上方，這時活塞下移，直到其不再下移.求此時氣柱的長以及與之相對應的條件（設氣體的溫度不變）
圖7 圖8解析 本題表面上看似乎與不等式沒有什么關系，然而如靈活運用不等式求解，不僅給人耳目一新的感覺，而且會收到事半功倍的效果.如圖8設有足夠量的水銀一直能夠把汽缸裝滿，裝滿時水銀柱長為x cm，則有
H0L0=（H0+x）（L0-x0），解之得：x=L0-H0
設瓶內水銀產生的總附加壓強為Δp，則有
H0L0=（H0+Δp）L，解之得：Δp=H0（L0-L）L
若0
則水銀沒能全部倒入缸中，解此式得：L0>H0，L
氣柱長L′=L0-x=H0.
若x≥Δp，即L≥H0，水銀能夠全部倒入缸中，因此氣柱長L′=L0.
若x≤0，即L0≤H0，水銀不能倒進缸中，一定滿足L0>H0.
所以最后結論為：當L 三、求解電磁學問題
例8 把一個“10 V 2.0 W”的用電器A（純電阻）接到某一電動勢與內阻都不變的電源上，用電器A實際消耗的功率是2.0 W；換上另一個“10 V 5.0 W”的用電器B（純電阻）接到這一電源上，用電器B實際消耗的功率有沒有可能反而小于2.0 W呢？如果認為不可能，試說明理由.如果認為可能，試求出用電器B實際消耗的功率小于2.0 W的條件（設電阻不隨溫度改變）.
解析 不可能.因為當電路的內、外電阻相等時，電源有最大輸出功率，在一般情況下，對電源同一輸出功率，外電阻有兩個值.由題意知
用電器A的電阻RA=U2APA=1022.0Ω=50 Ω，用電器B的電阻RB=U2BPB=1025Ω=20 Ω.
當A接到電源上時，消耗的概率P1為額定功率，所以有P1=（ERA+r）2RA=2.0 W.
換為用電器B時，B消耗的功率P2=（ERB+r）2RB
由上述兩式可解得（取合理值）r>1010Ω，E>（10+21-） V.
圖9例9 如圖9所示，一個半徑為R的光滑半圓固定在磁感應強度為B的勻強磁場中，一個質量為m的帶正電小球，從半球頂由靜止沿左側滑下且始終未脫離球面，求其電量的最小值.
解析 小球始終未脫離球面的條件是N≥0恒成立.設某時刻小球重力與所受洛侖茲力之間夾角為θ，則根據題意可列方程：
mgR（1-cosθ）=12mv2
①
Bqv+mgcosθ-N=mv2R
②
由①得cosθ=1-v22gR，將其代入②可得N=-3mv22R+Bqv+mg
圖10
由于a=-3m2R0；當
v=2gR時，N=-2mg+Bq2gR≥0，所以q≥m2gRBR.
圖11例10 如圖11所示的兩種電路中，電源相同，各電阻器阻值相等，各電流表的內阻相等且不能忽略不計.電流表A1、A2、A3和A4的示數分別為I1、I2、I3和I4，則下列關系式正確的是（ ）.
A. I1=I3 B. I1
C. I2=2I1 D. I2
解析 從電路圖和各選項可以看出，選項A比較的是對應電阻上的電流，只要A選項的比較結果能夠確定，則選項B就容易判斷了.選項C是比較同一電路中干路電流與支路電流之間的關系，顯然不正確；選項D是比較兩電路中的總電流，這是本題的關鍵所在.若不采用簡化的方法，比較兩電路的總電阻很復雜.下面通過不等簡化巧妙地進行比較.
假設A1電阻為零，并設每只電流表的內阻為rA，電源內阻為r，則由電阻串、并聯知識可知（甲）、（乙）兩電路的總電阻R甲>r+（rA+R2），R乙=r+R+r2，據此可知R甲>R乙.由閉合電路歐姆定律可知I2
關鍵詞：數學方法；高中物理；應用
中圖分類號：G623.5文獻標識碼： A
一、數學方法的作用 數學方法有很多,以下是一些在高中常見的數學方法。如:解析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、加減(消元)法、建模法、極限法、圖象法、窮舉法(要求分類討論)、比較法(數學中主要是指比較大小)、換元法(也稱之為中間變量法)、數學歸納、拆補法等等。對于數學方法的作用，首先語言要形式化的精確簡潔,其次提供計算的方法及數量分析,談后要有推理邏輯的工具。另外數學方法還能很好的為學生提供一些解題思路和思考方式。對于教學來說有它的方法，但怎樣教卻沒有規定的方法，因此上解題應該也有它自己的法則,而數學方法就為物理的解題提供了一些可供參考的法則。
1、解析法的應用
一般情況下，在高中物理力學中，物體運動的軌道都是由觀察物理現象一集物理實驗等得出的，而很少通過理論只知識來進行推導。比如，對于高中物理力學中拋物體的運動問題，就可以通過數學方法來進行推導，由此而得出拋物體的運動軌跡為拋物線。然后通過觀察、推導，進一步加深了學生對拋物體運動的認識、理解和掌握。在高中物理力學中，應用到數學方法很多，主要有函數、圖像、幾何、圖形、解析以及歸納等方法。實際上，高中物理力學的有關問題往往是千變萬化的，其解決方法也多種多樣的。因此，要求我們在高中物理力學教學過程中，必須結合實際應用數學知識及方法，認真進行歸納總結，不斷學生應用數學方法解決高中物理力學有關問題的能力及水平。
2、結合法的應用
數形結合法，可以應用道描寫物理概念、規律和規律之間的關系及變化。數與形之間，是相互替代、相互補充和相互轉化的關系。例如，在高中物理力學教學中，可以應用數形結合方法，進而把一些抽象的物理數量關系轉變為形象逼真的幾何知識。同時，也可以把幾何圖形化為物理數量關系。可見，應用數形結合方法，往往能夠把復雜抽象的高中物理力學問題進行簡單化、具體化，進而一年到學生尋找到簡單的解題思路與方法。在解決高中物理力學有關問題時，我們可以結合實際情況，充分應用數形結合法，力求精確地解決高中物理力學的有關問題。
二、數學方法在高中物理中的應用
1、正余弦函數在高中物理中的應用
圖1是交流發電機模型示意圖。在磁感應強度為B 的勻強磁場中，有一矩形線圈abcd可繞線圈平面內垂直于磁感線的軸OO′轉動，由線圈引出的導線ae和df分別與兩個跟線圈一起繞OO′轉動的金屬環相連接，金屬環又分別與兩個固定的電刷保持滑動接觸，這樣矩形線圈在轉動中就可以保持和外電路電阻R形成閉合電路。圖2是線圈的主視圖，導線ab和cd分別用他們的橫截面積來表示。已知ab 長度為L1，bc長度為L2，線圈以恒定角速度ω逆時針轉動。（只考慮單匝線圈）
1、線圈平面處于中性面位置時開始計時，試推導t時刻整個線圈中的感應電動勢e1 的表達式；
2、線圈平面處于與中性面成φ0 夾角位置開始計時，如圖3 所示，試寫出t時刻整個線圈中的感應電動勢e2 的表達式；
3、若線圈電阻為r，求線圈每轉動一周電阻R 上產生的焦耳熱。（其他電阻均不計）
分析與解答
1.（如圖4）線圈abcd 轉動過程中，只有ab 和cd 切割磁感線，設ab、cd 的轉動速度為v,則。在t時刻，導線ab和cd 因為切割磁感線產生的感應電動勢方向相同，大小均為E1=BL1v2。由圖象可知，v=vsinωt。整個線圈在t時刻產生的感應電動勢為：e1=2E1=BL1L2ωsinωt。
2、當線圈由圖2 位置開始轉動時，在t時刻線圈的感應電動勢為e2=BL1L2ωsin（ωt+φ0）。
3、由閉合電路的歐姆定律，得。E 為線圈中產生感應電動勢的有效值。。線圈轉動一周在R上產生的焦耳熱Q=I2RT，其中，所以。
本題考查了交流電流的產生和變化規律以及交流電路中熱能的計算，主要運用到了數學里的正弦函數來處理物理問題。不僅正弦交流電的電動勢和電流瞬時值，機械振動的位移時間關系、機械波波動圖象等，這些周期性的復雜的過程用正余弦函數表示卻會變得非常簡單明了。
2、不等式法在高中物理中的應用
例1：在某一次運動會中，運動員被要求從高為H的平臺上A點由靜止出發。動摩擦因數為μ的滑道向下運動到B點后沿著水平滑出，最終落入水池中。設滑道的水平距離為L，B點的高度為h，可由運動員自由調節（取g=10 m/s2）。求：
（1）運動員到達B點的速度和高度h的關系；
（2）如果運動員要達到最大水平運動距離，B點的高度h應調為多大才能實現？其對應的最大水平距離SBH為多少？
（3）若H=4m，L=5m，動摩擦因數μ=0.2，則水平運動距離要達到7m，h值應為多少？
分析與解答
根據平拋運動x=v0t，，得，當時，x 取得最大值
很明顯，在第二問中就用到了不等式求極值的方法，而第二步的結論又直接影響到了第三問的解答，所以數學方法的應用是本題的一個難點，也體現了數學方法的重要性。例：在豎直面內圓周運動的臨界問題分析
物體在豎直面內做圓周運動是一種典型的變速曲線運動，該類運動常有臨界問題，并伴有“最大”“最小”“剛好”等詞語，常分析兩種模型———輕繩模型和輕桿模型，分析如下表所示：
表一
【說明】由以上例子可見不等式不僅在求解范圍極限這樣的題型中用到，在一些臨界情況的分析中不等式法更有得天獨厚的優勢，可見不等式與物理的結合能力也是學生分析問題時必不可少的。
3、應用極限法解決物理解題
極限法（又稱極端法）在物理解題中有比較廣泛的應用。若將貌似復雜的問題推到極端狀態或極限值條件下進行分析，問題往往變得十分簡單。例如，應用極限法，通常可以把中物理力學中的傾角變化的斜面轉化為水平面或者豎直面，進而把較為復雜的物理力學問題轉變成簡單的知識。同時，也可以把運動的物體視為了靜止的物體，把變量轉化成特殊恒定的數值，把非理想物理模型轉化成理想物理模型等。實際上，極限法是高中物理解題方法中最為普遍、最為重要的方法。對于很多需要進行定性分析的力學問題，應用極限法都能夠使解題省略一些不必要的繁瑣推導及運算，往往只進行簡單的推理即可得到結論。但是，極限法也是常常被學生忽略的。因此，我們必須引起高度重視，在高中物理力學教學中，有意識、有針對地引導學生應用極限法進行解題，不斷拓展學生的思維和視野。下面以例說明。
例：如圖3所示，A物體和B物體由輕質細線連接跨過定滑輪，A置于斜面上，A、B均靜止。且，斜面傾角θ=30°。若將一小物體C輕放在A上，A仍保持靜止， 則這時A受到的斜面給它的摩擦力可能是（ ）。
A.變大，方向沿斜面向下。
B.變小，方向沿斜面向下。
C.變為零。
D.變小，方向沿斜面向上。
說明與解析 ：
若摩擦力恰好為零，A能靜止在斜面上， 有mAgsin30°=T=mAg，即。，說明A有沿斜面向上滑動的趨勢，A受到的靜摩擦力為f，方向沿斜面向下，若在A上放一小物體C，A仍保持靜止。則有三種可能:
①
②已大于2，f變為沿斜面向上，有可能比原f大，也有可能比原f小。
③仍小于2，f變小，仍沿斜面向下。
因此選B、C、D。
點評：當A受到靜摩擦力f=0就是一種臨界狀態。進行分析，將f推至臨界狀態，正確的結論就能很快地得出。
在高中物理解題方法中極限法是最為重要的方法之一，相對于一些只需作定性分析的題，利用這種方法解題就省略了
比較繁瑣的運算，得到結果用很簡單的推理即可。但這種方法常被學生由于“想不到”而忽略。因此我們要引起重視，擴展學生的思維，有意識地在教學中引導學生用極值法解題。
4、解決物理問題數型結合方法的應用
對于物理概念來說，數與形都可以用來描寫，以及對物理規律，物理概念和物理規律之間的聯系和變化，兩種形式之間可以相互替代、相互補充、相互轉化。數形結合思想的應用，能將抽象的數量關系以用形象的幾何直觀來表達出來， 也可以將幾何圖形問題轉化為數量關系。數形結合的思想，往往能將抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化，找到簡捷明快的解題方法和思路。同時，我們在在解決物理問題時，我們可以對情況具體情況進行分析，認清物理圖形與數學表達式、圖像的特點、功能，及它們之間的辯證關系，選擇比較合適的形式來反映、描述物理規律、現象，這樣就會顯得靈活、方便。
例4：物體以大小不變的初速度v0沿木板向上滑動，若木板傾角θ不同，物體能上滑的距離s也不同。如圖4所示是通過實驗得出s-θ圖像， 求圖中最低點P的坐標。
說明與分析：這是一道物理情景非常熟悉但題型又較為新穎的數形結合題， 要順利解答這個問題，首先需獲取圖像的有關信息，然后尋找出題目所隱含的潛在規律，再轉化為代數問題進行求解。由題中s-θ圖像可知， 當木板傾角時θ=θ1=0°時， 物體滑行距離s=S1=20m，即此時物體沿水平面運動，由牛頓運動定律和運動學公式可得：V02=2μgS1 （1）。
當θ=θ2=90°時，s=S2=15m， 此時物體實際做豎直上拋運動，于是有:V02=2gS2 （2）。
當θ為任意值時， 物體滑斜面上滑， 有：V02=2（gsinθ+μgcosθ）s （3）。
聯立（1）、（2）、（3）式，消去V0和g得：s=S1S2/（S1sinθ+S2cosθ）（4）。
以S1、S2的值代入（4） 式后簡化得：s=12/（sinθ×0.8+cosθ×0.6） （5）。
考慮到cos37°=0.8，sin37°=0.6，（5）式可化為：s=12/sin（θ+37°） （6） ，
所以，當θ=53°時，s有極小值12m，故P點的坐標為（53°、12m）。
我們在解題過程中，對于一些物理問題，用圖像來表述有關的信息，為了使其方便描述。雖然圖像形象直觀，但不夠精確。在處理這些問題時，只有充分挖掘圖像的信息，把圖像問題轉化為代數問題，對有關的物理規律進行分析，根據圖形和物理量之間的關系，對于這些物理問題我們才能更加精確地的得到解決。
結語
物理概念的形成、物理規律的掌握離不開數學方法和數學思維，學生分析和解決物理問題能力的培養更離不開數學。在物理教學中，我們應充分發揮數學方法和數學思維在處理、分析、表述和解決物理問題中的作用，引導學生自覺地、有針對性地將物理問題和數學方法有機地結合起來，真正做到既能把物理問題轉化為數學問題，又能從數學表達式中深刻領悟其物理問題的內涵，且能運用數學方法解決物理問題。
參考文獻
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